Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} \cos (b) & \frac{i}{g} \cdot \sin (b) \\ \sin (b) \cdot (i g) & \cos (b) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \cos (a) & \frac{i}{d} \cdot \sin (a) \\ \sin (a) \cdot (i d) & \cos (a) \end{array}]$

Этап 1

Объединим $\frac{i}{g}$ и $\sin (b)$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) & \frac{i \sin (b)}{g} \\ \sin (b) \cdot (i g) & \cos (b) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \cos (a) & \frac{i}{d} \cdot \sin (a) \\ \sin (a) \cdot (i d) & \cos (a) \end{array}]$

Этап 2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$[\begin{array}{c} \cos (b) & \frac{i \sin (b)}{g} \\ i \sin (b) g & \cos (b) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \cos (a) & \frac{i}{d} \cdot \sin (a) \\ \sin (a) \cdot (i d) & \cos (a) \end{array}]$

Этап 3

Объединим $\frac{i}{d}$ и $\sin (a)$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) & \frac{i \sin (b)}{g} \\ i \sin (b) g & \cos (b) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \cos (a) & \frac{i \sin (a)}{d} \\ \sin (a) \cdot (i d) & \cos (a) \end{array}]$

Этап 4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$[\begin{array}{c} \cos (b) & \frac{i \sin (b)}{g} \\ i \sin (b) g & \cos (b) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \cos (a) & \frac{i \sin (a)}{d} \\ i \sin (a) d & \cos (a) \end{array}]$

Этап 5

Умножим $[\begin{array}{c} \cos (b) & \frac{i \sin (b)}{g} \\ i \sin (b) g & \cos (b) \end{array}] [\begin{array}{c} \cos (a) & \frac{i \sin (a)}{d} \\ i \sin (a) d & \cos (a) \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Этап 5.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) + \frac{i \sin (b)}{g} (i \sin (a) d) & \cos (b) \frac{i \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b)}{g} \cos (a) \\ i \sin (b) g \cos (a) + \cos (b) (i \sin (a) d) & i \sin (b) g \frac{i \sin (a)}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $i \sin (b) g \frac{i \sin (a)}{d}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Объединим $i$ и $\frac{i \sin (a)}{d}$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & \sin (b) g \frac{i (i \sin (a))}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.1.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & \sin (b) g \frac{i^{1} i \sin (a)}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.1.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & \sin (b) g \frac{i^{1} i^{1} \sin (a)}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & \sin (b) g \frac{i^{1 + 1} \sin (a)}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & \sin (b) g \frac{i^{2} \sin (a)}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.1.6

Объединим $\sin (b)$ и $\frac{i^{2} \sin (a)}{d}$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & g \frac{\sin (b) (i^{2} \sin (a))}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.1.7

Объединим $g$ и $\frac{\sin (b) (i^{2} \sin (a))}{d}$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & \frac{g (\sin (b) (i^{2} \sin (a)))}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & \frac{g \sin (b) \cdot - 1 \sin (a)}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & \frac{- g \sin (b) \sin (a)}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \cos (b) \cos (a) - \frac{d \sin (a) \sin (b)}{g} & \frac{i \cos (b) \sin (a)}{d} + \frac{i \sin (b) \cos (a)}{g} \\ i g \sin (b) \cos (a) + i d \cos (b) \sin (a) & - \frac{g \sin (b) \sin (a)}{d} + \cos (b) \cos (a) \end{array}]$